Вопрос 18 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

18. Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку.

Доказать: каковы бы ни были две точки A и Atask, существует один и только

один параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку Atask;

Доказательство:

1) Введем декартовы координаты на плоскости, пусть числа a1 и a2-

координаты точки A, а числа a1task и a2task-координаты точки Atask;

2) Параллельный перенос, заданный формулами

xtask=x+a1task-a1 и ytask=y+a2task-a2;

переводит точку A в точку Atask;

3) При x=a1 и y=a2, получаем xtask=a1task и ytask=a2task;

4) Докажем единственность параллельного переноса:

Пусть X-произвольная точка фигуры и Xtask-точка, в которую она

переходит при параллельном переносе;

5) По свойству параллельного переноса AAtask ||XXtask и AAtask=XXtask, значит

AAtask Xtask X-параллелограмм с диагоналями AXtask и Atask X;

6) По свойству параллелограмма: отрезки AXtask и Atask X имеют общую

середину O;

7) Задание точки X однозначно определяет точку O-середину

отрезка Atask X;

8) Точки A и O однозначно определяют точку Xtask, так как точка O является

серединой отрезка AXtask;

9) Однозначность в определении точки Xtask и означает единственность

параллельного переноса, что и требовалось доказать.