Вопрос 16 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

16. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности.

Доказать: отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от

окружности, то есть одно и то же для любых окружностей;

Доказательство:

1) Возьмем две произвольные окружности, пусть R1 и R2-их радиусы,

а l1 и l2-их длины;

2) Допустим, что утверждение теоремы неверно и l1/(2R1)=/=l2/(2R2), например:

l1/(2R1)

3) Впишем в окружности многоугольники с большим числом сторон n;

4) Если число n очень велико, то длины окружностей будут очень мало

отличаться от периметров p1 и p2 вписанных многоугольников, поэтому

неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить l1 на p1 и l2 на p2:

p1/(2R1)

5) Радиусы описанных около правильных многоугольников окружностей

зависят от длины их стороны, значит периметры правильных выпуклых

n-угольников соотносятся как радиусы описанных окружностей:

p1/p2 =R1/R2 , отсюда p1/R1 =p2/R2 ;

6) Это противоречит неравенству (**), значит наше допущение неверно

и отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от самой

окружности, что и требовалось доказать.