Вопрос 9 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.

Доказать: равные векторы имеют соответственно равные координаты,

а векторы с соответственно равными координатами равны;

Доказательство:

1) Пусть точки A1 (x1; x2) и A2 (x2; y2)-начало и конец вектора a;

2) Так как равный ему вектор atask получается из вектора a параллельным

переносом, то его началом и концом будут точки:

A1task (x1+c; y1+d) и A2task (x2+c; y2+d)-соответственно;

3) Координаты вектора a равны:

a1=x2-x1 и a2=y2-y1;

4) Координаты вектора (atask) равны:

a1=x2+c-(x1+c)=x2+c-x1-c=x2-x1;

a2=y2+d-(y1+d)=y2+d-y1-d=y2-y1;

5) Таким образом, координаты векторов a и atask равны, что и требовалось

Доказать;

6) Обратно: пусть соответствующие координаты векторов (A1 A2) и (A1task A2task)

равны, докажем, что эти векторы равны;

7) Пусть x1task и y1task-координаты точки A1task, а x2task и y2task-координаты точки A2task;

8) По условию теоремы: x2-x1=x2task-x1task и y2-y1=y2task-y1task;

9) Отсюда следует, что: x2task=x2+x1task-x1 и y2task=y2+y1task-y1;

10) Параллельный перенос, заданный формулами:

xtask=x+x1task-x1 и ytask=y+y1task-y1

переводит точку A1 в точку A1task, а точку A2 в точку A2task, то есть векторы

(A1 A2) и (A1task A2task) равны, что и требовалось доказать.