Упр.48 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение:

48. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.

Дано: Шар вписан в правильную пирамиду;

Доказать: Центр шара лежит на высоте пирамиды;

Доказательство:

1) Опустим перпендикуляр OA из центра шара O на плоскость

основания пирамиды;

2) Пусть X-произвольная точка касания и грани куба;

3) Проведем XM OA, тогда по теореме Пифагора в OXM:

XM=v(OX^2-OM^2 )=v(R^2-OM^2 );

4) Следовательно длина отрезка XM одна и та же для любой точки

касания X, тогда точка M-центр окружности, вписанной в сечение

пирамиды перпендикулярное OO_1, значит центр шара O лежит на

высоте пирамиды, что и требовалось доказать.