Упр.9 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение:

Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

Дано: Прямая a; точка A a;

Доказать: Через точку A можно провести одну и только одну пер-

пендикулярную прямой a плоскость;

Доказательство:

1) Через прямую a проведем две плоскости и построим в них через

точку A прямые b и c, перпендикулярные прямой a;

2) Через прямые b и c проведем плоскость, по теореме 3.2 данная

плоскость перпендикулярна прямой a;

3) Пусть через точку A проходит еще одна плоскость, перпенди-

кулярная прямой a;

4) Пусть B точка плоскости, не лежащая в плоскости ?;

5) проведем через точку B и прямую a плоскость, она пересечет

плоскости и по различным прямым b и btask, перпендкулярным

прямой a, но это невозможно, так как на плоскости через данную

точку перпендикулярно данной прямой проходит только одна

перпендикулярная ей прямая;

6) Значит через точку A можно провести одну и только одну пер-

пендикулярную прямой a плоскость, что и требовалось доказать.