Упр.36 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение:

Докажите, что если через точку S, расположенную внутри окружности, проведено больше двух хорд, то произведение отрезков любой из хорд одинаково для всех хорд.

Дано: Точка S-лежит внутри окружности;

Доказать: Если через точку S проведено больше двух хорд то

произведение отрезков любой из хорд одинаково для всех хорд;

Доказательство:

1) Проведем диаметр окружности MN и хорды A_1 B_1, A_2 B_2, A_3 B_3, про-

ходящие через точку S;

2) По теореме 9.11 произведение отрезков хорд равно произведению

отрезков диаметра: B_1 S•SA_1=A_2 S•SB_2=NS•SM,

3) Так как через одну точку, лежащую внутри круга можно провести

только один диаметр, то NS•SM=const, следовательно, если через

точку S проведено больше двух хорд то произведение отрезков любой

из хорд одинаково для всех хорд, что и требовалось доказать.