Упр.1218 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Ниже вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:

Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.

1 способ

Пусть искомое наименьшее натуральное число будет x.

Тогда, 2x=a^2, где a – натуральное число.

Так как a^2 чётное число, а чётным может быть только квадрат чётного числа, то x кратно 2.

Путь 3x=b^3, где b натуральное число. Тогда, b^3 кратно 3.

Так как x кратно 2, то и b^3 кратно 2, т.е. 3x=(2•3•c)^3, где c – натуральное число.

Значит, 3x=(2•3•c)^3=2^3•3^3•c^3=8•27•c^3=216•c^3

x=72•c^3

Наименьшее натуральное x получим при c=1.

Значит, искомое число 72.

Ответ: искомое число 72.

2 способ

Если после умножения на 2 искомое число станет квадратом, значит в разложении на простые множители этого числа, количество двоек нечётно, а всех остальных равных членов произведения - чётное количество.

После умножения на 3 станет кубом. Значит, если к числу троек в разложении на простые множители в искомом числе прибавить ещё одно, то их количество должно делиться на 3. А все остальные равные члены произведения являются кубом какого-то числа. Поэтому, искомое число в разложении на простые множители должно содержать 2 и 3. Значит, минимальное количество двоек 3, а троек 2.

Искомое число: 2•2•2•3•3=8•9=72.