Упр.1226 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Ниже вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:

Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Пусть два последовательных натуральных числа будут равны n и n+1.

Тогда, (n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1=3•(n^2+n)+1.

Если n – чётное, то значение выражения n^2+n чётное.

Если n – нечётное, то значение выражения n^2+n тоже будет чётным, так как сумма двух нечётных чисел будет чётной.

Так как значение выражения n^2+n делится на 2, то значение выражения 3•(n^2+n) кратно 6.

Соответственно, (n+1)^3-n^3 при делении на 6 даёт остаток 1.

Что и требовалось доказать.