Упр.1228 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Ниже вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:

Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Пусть натуральное число, не кратное 3, будет n.

Тогда, при делении на 3 получаем остаток 1 или 2.

Если остаток равен 1, то

(3n+1)^2-1=9n^2+6n+1-1=9n^2+6n=3•(3n^2+2n).

Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.

Если остаток равен 2, то

(3n+2)^2-1=9n^2+12n+4-1=9n^2+12n+3=

=3•(3n^2+4n+1).

Так как один из множителей число 3, значит выражение кратно 3.

Таким образом, разность между квадратом натурального числа, не кратного трём, и числом 1 кратна 3.

Что и требовалось доказать.