Упр.539 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Ниже вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:

Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом:

а) (10^n-1)/9

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение 10^n-1 будет делиться на 9 без остатка.

По признаку делимости, число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Значение выражения 10^n будет состоять из единицы и n нулей. Тогда, значение выражения 10^n-1 будет состоять из n девяток.

Число, состоящее из любого количества 9, делится на 9.

Значит, выражение 10^n-1 делится на 9 без остатка.

б) (10^n+8)/9

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение 10^n+8 будет делиться на 9 без остатка.

По признаку делимости, число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Значение выражения 10^n будет состоять из единицы и n нулей. Тогда, значение выражения 10^n+8 будет состоять из единицы, n-1 нулей и восьмёрки.

Сумма цифр равна: 1+8=9

Значит, выражение 10^n+8 делится на 9 без остатка.

в) (10^n-4)/3

Значение дроби будет натуральным числом, если выражение 10^n-4 будет делиться на 3 без остатка.

По признаку делимости, число делится на 3 только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Значение выражения 10^n будет состоять из единицы и n нулей. Тогда, значение выражения 10^n-4 будет состоять из n-1 девяток и шестёрки.

Так как сумма цифр кратна 3, значит, выражение 10^n-4 делится на 3 без остатка.