Упр.61 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Ниже вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:

(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

3) Проведите доказательство.

6=3•2 – для того, чтобы число делилось на 6 необходимо и достаточно того, чтобы число делилось на 2 и на 3.

2 – единственное простое четное число, а так как мы рассматриваем простые числа, начиная с 5, то все рассматриваемые простые числа являются нечетными.

Прибавление или вычитание единицы изменяет четность. Поэтому всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 2.

Так как исходное число простое, начиная с 5, значит, оно не делится на 3, обозначим его переменной x.

Очевидно, что x-1 либо x+1 делится на 3, так как точно одно из 3 последовательных чисел делится на 3.

Простое число из третьего десятка – 23, тогда

23+1=24 – делится на 6.

Простое число из седьмого десятка – 67, тогда

67-1=66 – делится на 6.

67+1=68 – не делится на 6.

Доказательство:

Пусть a - некоторое простое число, a?5.

Все простые числа, кроме числа 2, числа нечетные, тогда (a-1) и (a+1) числа четные и, значит, делятся на 2.

Из трех последовательных чисел (a-1),a,(a+1) одно обязательно делится на 3, так как a – простое число, то (a-1) или (a+1) делится на 3.

Тогда всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 2 и на 3. Значит, делится и на 6.