Упр.749 ГДЗ Макарычев 7 класс (Алгебра)

Ниже вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк 7 класс, Просвещение:

Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Для того, чтобы произведение n(2n+1)(7n+1) делилось на 6, необходимо, чтобы оно было кратно 2 и 3.

Докажем сначала делимость данного произведения на 2.

При чётном n произведение делится на 2, так как один из множителей число n.

При нечётном n сумма 7n+1 является чётным числом, т.е. произведение кратно 2.

Значит, произведение всегда кратно 2.

Осталось доказать делимость данного произведения на 3.

При делении на 3 остаток от деления может быть 0, 1 или 2.

1) Если остаток от деления 0, значит произведение кратно 3.

2) Если остаток от деления 1, значит число n можно представить в виде n=3q+1.

Тогда, 2n+1=2(3q+1)+1=6q+2+1=6q+3=

=3(2q+1).

Значит, сумма 2n+1 кратна 3.

3) Если остаток от деления 2, значит число n можно представить в виде n=3q+2.

Тогда, 7n+1=7(3q+2)+1=21q+14+1=21q+15=

=3(7q+5).

Значит, сумма 7n+1 кратна 3.

Значит, произведение n(2n+1)(7n+1) при любом натуральном значении n кратно 2 и 3, т.е. делится на 6.

Что и требовалось доказать.