Упр.15.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

15. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.

Дано: точка A находится на расстоянии a от вершин равностороннего

треугольника со стороной a;

Найти: расстояние от точки A до плоскости треугольника;

1) Пусть BCD-данный равносторонний треугольник, тогда:

AB=AC=AD=a;

2) Опустим из точки A перпендикуляр AO на плоскость BCD;

3) Прямоугольные треугольники AOB, AOC, AOD равны по гипотенузе

и общему катету AO, отсюда следует равенство их вторых катетов:

BO=CO=DO;

4) Таким образом, точка O равноудалена от вершин треугольника BCD,

значит она является центром описанной около него окружности;

5) Найдем радиус этой окружности:

BO=R=a/(2•sin(180°)/3)=a/(2•sin60°)=a/2•2/v3=a/v3;

6) В прямоугольном треугольнике AOB по теореме Пифагора:

AO=v(AB^2-BO^2 )=v(a^2-a^2/3)=v((2a^2)/3)=av(2/3);

Ответ: av(2/3).