Упр.5.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

Доказать: центр вписанной в равносторонний треугольник окружности

совпадает с центром окружности, описанной около этого треугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник;

2) Проведем биссектрисы AA1 и CC1, они пересекутся в точке O, которая

является центром вписанной в треугольник окружности (теорема 5.2);

3) Так как треугольник равносторонний, то биссектрисы AA1 и CC1

являются также медианами и высотами, тогда AA1 и CC1-серединные

перпендикуляры сторон CB и AB, значит точка их пересечения O

является центром описанной около треугольник ABC окружности, что и требовалось

Доказать.