Упр.9.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

36. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если населённые пункты находятся в вершинах выпуклого четырёхугольника?

Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах выпуклого

четрыехугольника;

Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний

от нее до всех данных пунктов была наименьшей;

Решение:

1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D

произвольного выпуклого четырехугольника ABCD;

2) Отметим точку O на пересечении диагоналей AC и BD;

3) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD;

4) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O;

5) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC>AC;

6) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD>BD;

7) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет

выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в

любом случае: XA+XB+XC+XD>AC+BD;

8) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X

больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая;

Ответ: в точке пересечения диагоналей четырехугольника.