Упр.8.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

61. Докажите, что если cos альфа = cos бета, то aльфа = бета.

Доказать: если cosa=cosбета, то a=бета;

Доказательство:

I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые:

1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого;

2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла cosa убывает, значит:

либо cosaбета), либо cosбетаa);

3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит

наше допущение неверно и углы a и бета равны;

II) Случай, когда острый только один из углов невозможен, так как из

тождества cos(180°-a)=-cosa следует, что острый и тупые углы

имеют противоположные знаки;

III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые:

1) По свойству косинуса любого угла от 0° до 180°:

cos(180°-a)=-cosa и cos(180°-бета)=-cosбета;

2) По условию cosa=cosбета, значит cos(180°-a)=cos(180°-бета);

3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые,

а так как их косинусы равны, то и эти углы также равны, тогда:

180°-a=180°-бета, отсюда a=бета, что и требовалось доказать.