Упр.14.47 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

Доказать: в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности

равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой;

Доказательство:

1) Пусть a и b-катеты, а c-гипотенуза прямоугольного треугольника;

2) Площадь прямоугольного треугольника равна: S=1/2•ab;

3) По теореме Пифагора: c^2=a^2+b^2;

4) Найдем радиус вписанной окружности по формуле из задачи 14.42:

r=2S/(a+b+c)=ab/(a+b+c)=(ab•(a+b-c))/((a+b+c)•(a+b-c) )=(ab•(a+b-c))/((a+b)^2-c^2 )=

=(ab•(a+b-c))/(2ab+a^2+b^2-c^2 )=(ab•(a+b-c))/2ab=(a+b-c)/2,

Что и требовалось доказать.