Упр.349 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 10 класс, Просвещение:

Три точки А, B и M удовлетворяют условию AM = X ¦ MB, где

X # -1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любои точки O пространства выполняется равенство OM =-.

1 + A

Решение

Из равенства AM = X ¦ MB следует, что векторы AM и MB кол-линеарны, поэтому прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку M, то они совпадают, и, следовательно, точки А, B и M лежат на одной прямой. Поскольку AM=OM-OA,MB = OB-OM, то из равенства AM = X ¦ MB имеем OM - OA = X (OB - ОМ), или

(1 + X) OM = OA + X ¦ OB. Отсюда, разделив на 1 + X, получаем искомое равенство.