Упр.1063 ГДЗ Мерзляк Полонский 6 класс (Математика)

Ниже вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 6 класс, Вентана-Граф:

1063. В Российской футбольной премьер-лиге принимают участие 16 команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. (Команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей.)

Докажем, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей, используя принцип Дирихле: если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

В задаче роль клеток отводится различным количествам сыгранных матчей, а «кролики» - это команды, участвующие в чемпионате.

Докажем методом от противного.

Предположим, что в некоторый момент чемпионата все 16 команд сыграли разное количество матчей.

Тогда максимальное число матчей, которое могла сыграть одна из команд – это 15 (она сыграла со всеми своими соперниками). А чтобы команды имели разное количество сыгранных матчей, нужно распределить между ними: 15, 14, 13, 12, …, 5, 4, 3, 2, 1 и 0 матчей. Получим ровно 16 различных вариантов для команд.

Однако, если одна из команд сыграла все 15 матчей, то в премьер-лиге не останется команды, которая бы не сыграла ни одного матча.

Значит, возможны только такие варианты:

15, 14, 13, 12, …, 5, 4, 3, 2, 1 или 14, 13, 12, 11, …, 5, 4, 3, 2, 1, 0

А это уже только 15 различных вариантов.

Команд 16, а различных вариантов количеств сыгранных матчей всего 15. Различных вариантов на один меньше, чем число команд.

«Кролики» не могут рассесться по клеткам по одному.

Значит, наше предположение не верно – всегда найдутся как минимум две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

Таким образом, доказано, что в любой момент чемпионата можно найти две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.