Упр.14.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна h.

Дано: прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его

площадь пополам; высота треугольника равна h;

Найти: расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из

которой проведена высота;

Решение:

1) Пусть ABC-данный треугольник, BH=h-высота и M-точка

пересечения данной прямой и ысоты BH;

2) Отметим точки E и F на пересечении данной прямой со сторонами

треугольника ABC, тогда по условию задачи: SEBF/SABC =1/2;

3) BH перпендикулярен AC и BH перпендикулярен EF, значит EF перпендикулярен AC;

4) Рассмотрим параллельные прямые EF?AC и секущую AB:

угол BAC=угол BEF (как соответственные углы);

5) треугольник ABC ~ треугольник EFB по двум углам (угол B-общий и угол BAC=угол BEF), значит:

(EB/AB)^2= SEBF/SABC =1/2, отсюда EB/AB=1/v2;

6) треугольник ABH ~ треугольник EMB по двум углам (угол B-общий и угол H=угол M=90°), значит:

BM/BH=EB/AB=1/v2, отсюда BM=BH/v2=h/v2;

Ответ: h/v2.