Упр.8.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

41. Докажите, что три прямые х + 2у = 3,2х - у = 1 и 3х + у — 4 пересекаются в одной точке.

Дано: три прямые x+2y=3,2x-y=1,3x+y=4;

Доказать: эти прямые пересекаются в одной точке;

Доказательство:

1) Пусть A (x; y)-точка пересечения первых двух прямых, значит

ее координаты являются решением уравнений этих прямых:

{-(x+2y=3@2x-y=1)+, отсюда x=3-2y;

2) Подставим значение x во второе уравнение:

2•(3-2y)-y=1;

6-4y-y=1;

-5y=-5, отсюда y=1;

3) Тогда: x=3-2•1=3-2=1;

4) Подставим координаты точки A(1; 1) в уравнение третьей прямой:

3•1+1=4 => 3+1=4 => 4=4-верно;

Значит, точка A приналежит третьей прямой;

5) Таким образом, все три прямые имеют общую точку A(1; 1),

следовательно они пересекаются в этой точке, что и требовалось

Доказать.