Упр.2.13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

13 Докажите, что если три из четырёх углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.

Дано: три из четырех углов при пересекающихся прямых равны:

Доказать: прямые перпендикулярны;

Доказательство:

1) Пусть a и b-данные пересекающиеся прямые;

2) Разобьем их точкой пересечения на полупрямые a1, a2, b1 и b2;

3) По условию: угол (a1 b2) = углу (a2 b1) = углу (a2 b2);

4) Сумма смежных углов равна 180°, значит:

угол (a1 b2)=180°- угол (a1 b1) и угол (a2 b1)=180°- угол (a2 b2);

5) Вертикальные углы равны, значит:

угол (a2 b2) = углу (a1 b1);

угол (a2 b1) = углу (a1 b2)=180°- угол (a1 b1);

6) Найдем эти углы:

(180°- угол (a1 b1))=(180°- угол (a1 b1)) = углу (a1 b1);

180°=2угол (a1 b1), отсюда угол (a1 b1)=180/2=90°;

7) Прямые a и b пересекаются под прямым углом (90°), следовательно

они перпендикулярны, что и требовалось доказать.