Упр.5.43 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

43. Докажите, что: 1) около любого треугольника можно описать окружность, и только одну; 2) в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

I) Отобразим условие задачи:

Доказать: около любого треугольника можно описать окружность

и только одну;

Доказательство:

1) Обозначим через O точку пересечения серединных перпендикуляров

к сторонам AC и BC данного треугольника;

2) По теореме о геометрическом месте точек, равноудаленных от двух

данных точек, точка O равноудалена как от вершин A и C, так и от

вершин B и C;

3) Значит точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC,

причем точка O лежит на серединных перпендикулярах к сторонам

AC и BC, значит около любого треугольника можно описать окружность;

4) Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной

точке, то такая окружность единственная, что и требовалось доказать.

II) Отобразим условие задачи:

Доказать: в любой треугольник можно вписать окружность и только

одну;

Доказательство:

1) Докажем, что каждая точка биссетрисы равноудалена от сторон угла:

- Из произвольной точки O опустим перпендикуляры OH1 и OH2 на

стороны AB и AC угла BAC;

- Треугольники AOH1 и AOH2 равны по гипотенузе и острому углу,

отсюда OH1=OH2, то есть точка O равноудалена от сторон угла BAC;

2) Обозначим через O точку пересечения биссеткрис AA1 и CC1;

3) По доказаному в пункте 1, точка O равноудалена от сторон AB и

BC и от сторон AC и BC:

4) Значит точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC,

причем точка O лежит на биссектрисах AA1 и CC1 треугольника, значит

в любой треугольник можно вписать окружность;

5) Так как сбиссеткрисы треугольника пересекаются только в одной

точке, то такая окружность единственная, что и требовалось доказать.