Упр.6.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

54. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.

Доказать: вершины треугольника равноудалены от прямой,

прохоящей через середины его сторон;

Доказательство:

1) Пусть ABC-данный треугольник, а точки A1 и C1 середины его

сторон BC и AB;

2) Так как AC1=C1 B и BA1=A1 C, то отрезок C1 A1-является средней

линией треугольника ABC, отсюда следует, что прямые AC и A1 C1

параллельны, значит точки A и C равноудалены от прямой A1 C1;

3) Из точек A и B опустим перпендикуляры AH1 и BH2 на прямую A1 C1;

4) Углы AC1 H1 и BC1 H2 равны как вертикальные;

5) Прямоугольные треугольники AH1 C1 и BC1 H2 равны по гипотенузе

и острому углу, отсюда AH1=BH2;

6) Таким образом, все три вершины треугольника ABC равноудалены

от прямой A1 C1, что и требовалось доказать.