Упр.9.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

17. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Доказать: прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника,

провеенную к его основанию, является осью симметрии треугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABC-равнобедренный треугольник с основанием AB и

CM-его медиана, тогда: AM=MB;

2) Медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой

и высотой, значит: угол ACM = углу CBM и AB перпендикулярен CM;

3) Так как AB перпендикулярен CM и AM=MB, то точки A и B симметричны

относительно прямой CM;

4) Значит любая точка X отрезка AB симметрична какой-нибудь другой

его точке Xtask относительно CM, так как все эти точки лежат на одном

перпендикуляре к прямой CM, а отрезки XM

5) Так как прямая CM является биссектрисой угла C, то стороны AC и CB

симметричны относительно этой прямой(доказано в предыдущей задаче);

6) Таким образом, каждая точка треугольника ABC симметрична

какой-нибудь другой его точке относительно медианы, проведенной

к основанию, что и требовалось доказать.