Упр.9.39 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

39. Два населённых пункта К и М расположены по разные стороны канала. В каком месте следует построить мост (перпендикулярно берегам канала) и прямолинейные дороги от населённых пунктов к мосту, чтобы путь между данными пунктами был кратчайшим?

Дано: два населенных пункта K и M расположены по разные стороны

от канала;

Найти: место в котором следует построить мост, перпендикулярно

берегам канала, и прямолинейные дороги так, чтобы путь между

данными пунктами был кратчайший;

Решение:

1) Пусть KK1 M1 M-кратчайший путь между точками K и M через

мост K1 M1;

2) Этот путь состоит из отрезка K1 M1, равного по длине ширине канала

и двух отрезков KK1 и M1 M, соединяющих населенные пункты с мостом;

3) Так как ширина канала-постоянная величина, то для кратчайшего

пути, сумма длин отрезков KK1 и M1 M должна быть наименьшей;

4) С помощью параллельного переноса сместим отрезок M1 M так, чтобы

точка M1 совпала с точкой K1, по свойству параллельного переноса:

KK1+K1 M2=KK1+M1 M;

5) Наименьшей является и сумма длин отрезков KK1 и K1 M2, значит

согласно неравенству треугольника точки K, K1 и M2 лежат на одной

прямой;

6) Таким образом, для нахождения требуемого местоположения моста

через канал достаточно сначала сместить точку M перпендикулярно

берегам канала на его ширину, а затем соединить построенную точку M2

с точкой K, искомой точкой K1 будет точка пересечения этой прямой с

линией берега канала, ближайшего к пункту K;