Упр.8.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

62. Докажите, что если sin альфа = sin бета, то либо aльфа = бета, либо альфа = 180° - бета.

Доказать: если sina=sinбета, то либо a=бета, либо a=180°-бета;

Доказательство:

I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые:

1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого;

2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла sina возоастает, значит:

либо sina

3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит

наше допущение неверно и углы a и бета равны;

II) Рассмотрим случай когда один из углов острый, а другой тупой

(например a90°):

1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°:

sinбета=sin(180°-бета)=sina;

2) Так как угол бета тупой, то угол (180°-бета)-острый, а из равенства

sin(180°-бета)=sina, следует что a=180°-бета;

III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые:

1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°:

sin(180°-a)=sina и sin(180°-бета)=sinбета;

2) По условию sin=sinбета, значит sin(180°-a)=sin(180°-бета);

3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые,

а так как их синусы равны, то и эти углы также равны, тогда:

180°-a=180°-бета, отсюда a=бета;

Таким образом, во всех случаях выполняется либо равенство a=бета,

либо равенство a=180°-бета, что и требовалось доказать.