Упр.11.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

52. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Доказать: центром окружности, описанной около прямоугольного

треугольника, является середина гипотенузы;

Доказательство:

1) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C;

2) Отметим точку O-середину отрезка AB;

3) Проведем окружность с центром в точке O и радиусом OA;

4) Так как BO=OA, то точка B также принадлежит этой окружности;

5) угол ACB=90° и угол AOB=180°:

угол ACB=1/2 угол AOB, значит угол ACB является вписанным в окружность

и опирается на ее диаметр AB;

6) Таким образом, все вершины треугольника ABC лежат на окружности,

значит точка O является центром описанной около него окружности, что

и требовалось доказать.