Упр.7.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

31. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от неё до насе- б) лённых пунктов А я В была наименьшей.

Рассмотрите два случая: 1) пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 166, а); 2) пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 166, б).

I) Рассмотрим случай, если населенные пункты A и B находятся по

разные стороны от шоссе:

1) Представим шоссе как прямую a;

2) Проведем отрезок AB, он пересечет прямую a в точке M;

3) Отрезок AB является расстоянием между двумя точками, то есть

это наименьшая линия, которую можно провести между ними;

4) Так как точка M принадлежит AB, то: AM+MB=AB;

5) Таким образом, остановку требуется установить в точке M.

II) Рассмотрим случай, если населенные пункты A и B находятся по

одну сторону от шоссе:

1) Представим шоссе как прямую a;

2) Проведем из точки B перпендикуляр BH к прямой a;

3) На продолжении луча BH отложим отрезок HBtask=BH;

4) Проведем отрезок ABtask, он пересечет прямую a в точке M;

5) MH является высотой и медианой треугольника MBBtask значит этот

треугольник-равнобедренный с основанием BBtask, отсюда MBtask=MB;

6) Так как точка M принадлежит ABtask, то: AM+MB=AM+MBtask=AB;

7) Таким образом, остановку требуется установить в точке M: