Упр.14.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

41. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.

Доказать: среди всех параллелограммов с данными диагоналями

наибольшую площадь имеет ромб;

Доказательство:

1) Пусть ABCD-параллелограмм с данными диагоналями AC и BD

и наибольшей площадью S;

2) По доказанному в предыдущей задаче его площадь равна:

S=1/2•AC•BD•sin угла AOD;

3) Синус угла не может быть больше единицы, это следует из

определения синуса острого угла как отношения противолежащего

катета к гипотензуе, а также из тождества sina=sin(180°-a), которое

означает, что синус любого тупого угла равен синусу, какого-нибудь

острого угла;

4) Следовательно, наибольшее значение S достигается при:

sin угла AOD=1, отсюда угол AOD=90°;

5) По свойству параллелограмма: AO=OC и BO=OD;

6) Прямоугольные треугольники AOB, BOC, COD и AOD равны по двум

катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AB=BC=CD=AD;

7) Таким образом, все стороны параллелограмма ABCD равны, значит

он является ромбом, что и требовалось доказать.