Упр.9.23 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

23. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.

Доказать: прямая, проходящая через центр окружности, является ее

осью симметрии;

Доказательство:

1) Проведем прямую через центр O окружности, отметим точки A и B

на пересечении этой прямой и окружности;

2) Так как отрезок AB проходит через центр окружности, то он является

ее диаметром;

3) Отметим на окружности произвольную точку X, опустим из нее

перпендикуляр XM на прямую AB и отметим точку Xtask на пересечении

прямой XO1 и окружности;

4) OX=OXtask=R, значит в равнобедренном треугольнике AXXtask

высота OM является медианой, отсюда: XM=MXtask;

5) Таким образом, точки X и Xtask симметричны относительно прямой AB,

а так как точка X произвольная, то любая точка окружности симметрична

какой-нибудь другой ее точке относительно прямой AB;

6) Значит прямая AB является осью симметрии данной окружности, что

и требовалось доказать.