Упр.15.4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

4. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.

Дано: прямые AB и CD скрещивающиеся;

Доказать: прямые AC и BD также скрещивающиеся;

Доказательство:

1) Допустим, что прямые AC и BD не скрещивающиеся, тогда они либо

пересекаются, либо параллельны, в любом случае эти прямые будут

лежать в одной плоскости, значит принадлежащие им точки A, C, B и D

также будут лежать в одной плоскости, обозначим ее как плоскость Альфа;

2) Точки A и B принадлежат плоскости Альфа, значит согласно теореме 15.2

прямая AB принадлежит плоскости Альфа;

3) Точки C и D принадлежат плоскости Альфа, значит согласно теореме 15.2

прямая CD принадлежит плоскости Альфа;

4) Таким образом, прямые AB и CD принадлежат одной плоскости, но

тогда они не являются скрещивающимися, что противоречит условию

задачи, следовательно наше предположение неверно и прямые AC и BD

скрещивающиеся, что и требовалось доказать;