Упр.4.48 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение:

48. Докажите, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать: все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной

точка;

Доказательство:

1) Проведем биссектрисы из углов A и B произвольного треугольника

ABC, они пересекутся в некоторой точке O;

2) Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольник ABC

как показано на рисунке;

3) Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и

острому углу (AO-общая гипотенуза и угол OAD = углу OAE так как AO-

биссектриса угол OAE);

4) Из равенства треугольников следует равенство их катетов OD и OE;

5) Аналогично, равенство катетов OE и OF из равенства треугольников

BOE и BOF, значит катеты OD, OF и OE равны между собой;

6) Прямоугольные треугольники COD и COF равны по гипотенузе и

катету (CO-общая гипотенуза и OD=OF), отсюда угол OCD = углу OCF;

7) Следовательно луч CO-биссектриса угла C треуголььника ABC;

8) Таким образом, все биссектрисы треугольник ABC пересекаются в одной точке,

что и требовалось доказать.