Упр.7.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

29. Известно, что диагонали четырёхугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырёхугольника.

Доказать: сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра,

но больше полупериметра четырехугольника;

Доказательство:

1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, диагонали AC и BD которого

пересекаются в точке O;

2) Согласно неравенству треугольника:

В треугольнике ABC: AC

В треугольнике ADC: AC

В треугольнике ABD: BD

В треугольнике CBD: BD

3) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:

2(AC+BD)

4) Согласно неравенству треугольника:

В треугольнике AOB: AB

В треугольнике BOC: BC

В треугольнике COD: CD

В треугольнике DOA: AD

5) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:

AB+BC+CD+AD

6) Разделим обе части выражения на 2, получим: AC+BD>P/2;

7) Таким образом: P/2