Упр.9.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

11. Три населённых пункта А, В и С расположены в вершинах остроугольного треугольника. Где следует построить комбинат, чтобы сумма расстояний от него до всех трёх пунктов была наименьшей?

Дано: три населенных пункта A, B и C расположены в вершинах

остроугольного треугольника:

Найти: где потроить комбинат K, чтобы сумма расстояний от него до

всех трех пунктов была минимальной;

Решение:

1) Допустим такая точка K уже существует;

2) Повернем треугольник AKB на угол 60° около вершины A так, чтобы

точки B1 и K1 лежали по другую сторону от точки C относительно

прямой AB;

3) Расстояния при движении сохраняются, значит:

B1 K1=BK и AK=AK1;

4) Треугольник AKK1-равнобедренный с угол A=60°:

угол K = углу K1=(180°-60°)/2=60°, значит треугольник AKK1-равносторонний, отсюда:

KK1=AK;

5) AK+BK+CK=KK1+B1 K1+CK=CB1, а так как расстояния от

точки K до вершин треугольника ABC минимальны, то по неравенству

треугольника точки B1, K1, K и C лежат на одной прямой;

6) Аналогично доказывается, что если треугольник CBK повернуть на

угол 60°, около точки B так, чтобы точки C2 и K2 лежали по другую сторону

от точки A относительно прямой BC, то точка K будет лежать на одной

прямой с точками A и C2;

7) Таким образом, для нахождения местоположения комбината K следует

повернуть отрезок AB около точки A и отрезок CB около точки B на 60°

так, чтобы точка B1 лежала по другую сторону от точки C относительно

прямой AB, а точка C2-по другую сторону от точки A относительно

прямой BC, тогда точка K будет лежать на пересечении прямых CB1 и AC2;