Упр.13.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

15. Докажите, что середины сторон правильного n- угольника являются вершинами другого правильного n- угольника.

Доказать: середины сторон правильного n- угольника являются

вершинами другого правильного n- угольника;

Даказательство:

1) Пусть A1 A2 A3…An-данный правильный n- угольник, у него все

стороны и все внутренние углы равны;

2) Соединим середины B1, B2, …, Bn сторон данного многоугольника, так

как всего сторон n, то получим n- угольник;

3) Рассмотрим равнобедренные треугольники B1 A2 B2, B2 A3 B3 и B3 A4 B4:

угол A2 = углу A3 = углу A4 и B1 A2=A2 B2=B2 A3=A3 B3=B4 A4=A4 B4;

Значит, эти три треугольника равны по первому признаку, отсюда:

B1 B2=B2 B3=B3 B4;

4) Из равенств:

угол B1 B2 B3=180°- угол B1 B2 A2- угол A3 B2 B3;

угол B2 B3 B4=180°- угол B2 B3 A3- угол A4 B3 B4;

Следует, что углы B1 B2 B3 и B2 B3 B4 равны;

5) Аналогично доказывается, что любые две стороны полученного

n- угольника равны, и углы между его соседними сторонами тоже равны,

значит этот многоугольник является правильным по определению, что

и требовалось доказать.