Упр.14.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение:

16. Решите предыдущую задачу для параллелограмма.

Разделить: данный параллелограмм на три равновеликие части

прямыми, проходящими через одну вершину;

Решение:

1) Пусть ABCD-данный данный параллелограмм.

2) По свойству параллелограмма: AB=CD и AD=BC;

3) Треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам, значит они имеют

равные площади;

4) Параллелограмм ABCD состоит из этих треугольников, значит:

SABCD=SABC+SCDA, отсюда SABC=SCDA=1/2 SABCD;

5) На луче CA от точки C последовательно отложим три равных

отрезка CC1, C1 C2 и C2 C3 произвольной длины;

6) Проведем прямую C3 B и параллельные ей прямые, проходящие через

точки C2 и C1, отметим точки B1 и B2 на пересечении этих прямых и

стороны BC;

7) По теореме о пропорциональных отрезках: BB2=B2 B1=B1 C;

8) Треугольники BAB2, B2 AB1 и B1 AC имеют общую высоту, опущенную

из вершины A на прямую BC, следовательно их площади равны:

S(BAB2 )=S(B2 AB1 )=S(B1 AC)=1/2•1/3 BC•AH1=1/3 SABC=1/6 SABCD;

9) Проведем прямую C3 D и параллельные ей прямые, проходящие через

точки C2 и C1, отметим точки D1 и D2 на пересечении этих прямых и

стороны DC;

10) По теореме о пропорциональных отрезках: DD2=D2 D1=D1 C;

11) Треугольники DAD2, D2 AD1 и D1 AC имеют общую высоту, опущенную

из вершины A на прямую DC, следовательно их площади равны:

S(DAD2 )=S(D2 AD1 )=S(D1 AC)=1/2•1/3 DC•AH2=1/3 SADC=1/6 SABCD;

12) Таким образом:

S(ABB1 )=S(BAB2 )+S(B2 AB1 )=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD;

S(AB1 CD1 )=S(AB1 C)+S(AD1 C)=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD;

S(AD1 D)=S(AD1 D2 )+S(AD1 D)=2•1/6 SABCD=1/3 SABCD;

13) Прямые AB1 и AD1-искомые