Упр.442 ГДЗ Мерзляк Полонский 5 класс (Математика)

Ниже вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 5 класс, Вентана-Граф:

442. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел:

1) от 1 до 10 включительно; 3) от 10 до 30 включительно;

2) от 15 до 24 включительно; 4) от 1 до 100 включительно?

Переместительное свойство умножения:

От перестановки множителей произведение не меняется.

ab=ba

Сочетательное свойство умножения:

Для того, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c=a(bc)

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.

То есть если в выражении есть только умножение, то умножение можно делать в любом порядке.

Число, которое оканчивается на 0, можно представить в виде произведения 10 и другого числа (например, 20=2•10,150==15•10).

Если нулей больше, то и десяток можно выделить столько же, сколько нулей (например, 700=7•10•10).

10 в свою очередь равно произведению чисел 2 и 5.

Значит, если в произведении есть число, делящееся на 5, и число, делящееся на 2, то произведение будет оканчиваться на 0.

Причём количество нулей будет равно количеству таких пар.

Например, произведение 25•16 будет иметь 2 нуля на конце:

25•16=5•5•2•2•4=(5•2)•(5•2)•4=10•10•4

4=2•2, но пятёрок больше нет, поэтому и нулей больше не будет.

1) 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10=1•3•4•6•7•8•9•10•10

Среди множителей есть число 10, это даст первый 0.

Умножение на 10 даёт 0 на конце произведения.

Кроме 10 есть ещё 5, к нему в пару можно взять любое чётное число, например, 2.

Это даст второй 0.

При умножении на 5 чётного числа в произведении получается 0 на конце.

Больше чисел, делящихся на 5, нет, поэтому и нулей больше не будет.

Таким образом, произведение оканчивается двумя нулями.

Числа в примерах идут подряд, поэтому чётных чисел намного больше, чем чисел, делящихся на 5.

Поэтому, можно ограничиваться подсчётом количества пятёрок.

Ответ: двумя нулями.

2) Среди чисел от 15 до 24 включительно число 20 оканчивается на 0.

Умножение на него даёт 0 на конце произведения.

Кроме 20 есть ещё 15, к нему в пару можно взять любое чётное число, например, 16.

15•16=5•3•2•8=5•2•3•8=10•3•8

Это даст второй 0.

Таким образом, произведение оканчивается двумя нулями.

Ответ: двумя нулями.

3) Среди чисел от 10 до 30 включительно числа 10, 20 и 30 оканчиваются на 0.

Умножение на них даёт 3 нуля на конце произведения.

Есть ещё число 15, оно даёт один нуль на конце.

Кроме этих чисел есть число 25, которое равно 5•5.

Оно даёт сразу два нуля.

Всего получается 1+2=3 нуля.

Таким образом, произведение оканчивается шестью нулями.

Ответ: шестью нулями.

4) Здесь есть такие числа, как 50=2•5•5, которые содержат две пятёрки и при этом оканчиваются на 0, это может запутать.

Поэтому считать количество чисел с нулями на конце и количество чисел, делящихся на 5, будет неправильно.

Надёжнее будет просто аккуратно пересчитать все пятёрки в этом произведении.

Числа идут подряд, поэтому каждое пятое число делится на 5.

Всего чисел 100.

100:5=20 (шт) – числа, делящиеся на 5.

Каждое двадцать пятое число делится на 25 (можно сказать, что они делятся на 5 дважды).

100:25=4 (шт) – числа, делящиеся на 25.

Числа, делящиеся на 25, содержат по две пятёрки, но они также относятся к числам, которые делятся на 5.

Посчитаем отдельно числа, делящиеся только на 5.

20-4=16 (шт) – числа, делящиеся только на 5.

Таким образом, 16 чисел дают по одной пятёрке, 4 числа дают по две пятёрки.

16•1+4•2=16+8=24 (шт) – количество пятёрок в произведении.

Так как пятёрок в произведении 24, то и нулей на конце произведения будет 24.

Ответ: 24 нулями.