Упр.9.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Ниже вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:

9. Докажите, что четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.

Доказать: четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является

параллелограммом;

Доказательство:

1) Центрально-симметричные фигуры при преобразовании симметрии

относительно некторой точки переходят сами в себя, следовательно

у многоугольников вершины переходят в другие вершины или сами в

себя (если эта вершина является центром симметрии);

2) Так как вершины четырехугольника не могут лежать на одной прямой,

то ни одна из его вершин не является центром симметрии;

3) Пусть у четырехугольника ABCD точка O является центром симметрии;

4) Точка A переходит в точку C, а точка B переходит в точку D, тогда по

определению симметрии относительно точки: AO=OC и BO=OD;

5) AC и BD являются диагоналями четырехугольника ABCD, а

O-точка их пересечения (так как она принадлежит обоим отрезкам),

следовательно ABCD-параллелограмм, что и требовалось доказать.